春节的晚上,外面鞭炮喧天,家人在看电视,我躲在屋里看数学,还是挺惬意的。
我正在看的是 John Baez 和 Greg Egan 的博客。John Baez 是一位在科普方面非常高产的数学家,写过不计其数的科普文章。读他的文章非常让人享受:他很喜欢从直观的例子入手,一步步启发读者,展开到更高级的数学。尤其是他行文的风格,字里行间都洋溢着他对所讨论的数学对象的喜爱。Greg Egan 是澳大利亚的一位非常高产的科幻小说作家,有不少作品已经被国内引入。他的小说属于硬科幻风格,而且是非常硬的那种。他的 博客文章 同样精彩!不过与 John Baez 不同的是,Greg Egan 的文章不太会去兼顾不同水平的读者,对我来说,要看懂他在说什么经常不是一件容易的事情。
John Baez 博客上有一个系列 Rolling circles and balls 讨论了圆的外摆线和焦散,Greg Egan 也有一篇 文章 更深入的讨论了曲线的焦散。这个话题非常有意思,我也一时手痒写了代码实验了一番并记录在此。
五一期间我写了一个 shadertoy 小动画,演示 Möbius 变换与球的刚体运动之间的关系:
这几天因为疫情居家观察难得多出点时间(不用健步挤地铁),可以写点小文章。我之前写过一篇介绍 Möbius 变换分类的文章,今天继续那里的讨论,介绍一个 Möbius 变换 \(M\) 作为二维 Poincaré 双曲空圆盘 \(\mathbb{H}\) 上的等距的两种构造方法:
- 指定 \(M\) 的不动点的个数和位置,不动点的个数和位置可以决定变换的类型。
- 指定两个反射镜面的位置:取 \(\mathbb{H}\) 中的两条测地线作为镜面,则关于这两个镜面的反演变换的复合变换就是一个 Möbius 变换。\(M\) 是椭圆/抛物/双曲的,当且仅当这两个镜面相交/平行/超平行。
这两种方法分别对应在 \(M\) 作用下保持不变的两个圆族。
本文的插图使用 matplotlib 绘制,代码在 Github 上。
前几天在网上看到了一位艺术家 Anthony James 的展览作品,使用多面体和镜子生成万花筒的效果,觉得很有意思:
我写了一个 Shadertoy 小动画,演示 Needham 的 "Visual complex analysis" 一书中第七章 "Winding numbers and topology" 中的结论:
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